By | 7 Nisan 2020

Giriş

Vibration with Control kitabındaki Örnek 1.4.1 ,  Altair Compose ile çözülmektedir.

Soru

Aşağıda verilen sistemin cevabını hesaplayınız. ( katsayılar birbiriyle uyumlu )


Çözüm

1- Yukarıdaki sisteme baktığımızda;

  • Tek değişkenli olduğu için adi diferansiyel denklem,
  • 2. dereceden bir denklem,
  • Sabit katsayılı bir denklem,
  • Eşitliğin karşısı sıfır olmadığı için ( ≠ 0 ) bu denklem homojen olmayan diferansiyel denklemdir.

Homojen olmayan diferansiyel denklemlerin çözümü 2 kısımdan oluşur: Homojen çözüm ile özel çözüm(partical) toplanır .

Xh(t) : Homojen çözüm
Xh(t) eğrilerde zamanla sıfır oluyor. Bu yüzden buna geçici rejim cevabı “transient response” deniyor.

Xp(t) : Özel Çözüm
Xp(t) e ise kalıcı rejim cevabı “steady state response” denilmektedir. Yazının ilerisinde kalıcı rejimin etkisini, sistemden kaldırarak daha net göreceğiz.


2-
Sisteme dışarıdan bir kuvvet etki etmektedir. Bu yüzden zorlanmış titreşime maruz kalan sistem olarak isimlendirilir. Etki eden kuvveti F(t), harmonik kuvvet olarak tanımlayacağız:

ω = 2πf olduğuna göre, sistem denkleminde, etki eden kuvvete (sağ tarafına) bakarsak;

ω = 3 olarak anlaşılır. Burada ω, zorlayıcı frekans olarak adlandırılır ve ω ωn durumu rezonans olarak bilinmektedir.


3-
 ζ  Sönüm oranı “damping ratio” ve ωn doğal frekans natural frequency” sistem denkleminden bulunur.



4-  ωd sönümlenmiş doğal frekans
“damped natural frequency” bulunur.



5-
Diferansiyel denklem bileşenlerinin daha iyi anlaşılması için grafik üzerinden tanımlar açıklanmaktadır ve özel çözüm Xp(t) denklemi sinüs ve cosinüs’lü hale dönüştürülmektedir.


6-
Soruda iki adet başlangıç koşulu “initial conditions” [  x(0) ve ẋ(0) ] verilmektedir. Başlangıç koşulları uygulanarak A ve B elde edilir.


Burada başlangıç koşullarının uygulanacağı denklem x(t) = Xh(t) + Xp(t) dir.
( Sık yapılan hata sadece özel kısmın “Xp” in kullanılmasıdır. )


7- 
Zorlanmış titreşime maruz kalan bir sistemin cevabı Altair Compose ile grafikleştirilmektedir.

 

Altair Compose komut pencere “command window” görünümü

Script:
% Ornek 1.4.1
% Analitik cozum
wn=2;
zeta=0.1;
wd=wn*sqrt(1-zeta^2);
w=3;
X1=-0.134;
X2=-0.032;
B=-X2-3/sqrt(2);
A=1/wd*(zeta*wn*B-w*X1);
t0=0;
tf=30;
t=linspace(t0,tf,300);
x=exp(-zeta*wn*t).*(A*sin(wd*t)+B*cos(wd*t))+X1*sin(w*t)+X2*cos(w*t);
plot(t,x)
title ( ‘Az Sönümlü Bir Sistemin Cevabı’ )
xlabel ( ‘Zaman (sn)’ )
ylabel ( ‘Yer Değiştirme (mm) ‘ )

 

Kaynaklar :

 

Burak Erbilen

Otomotiv Mühendisi
erbilenburak@gmail.com
Linkedin adresi: Burak Erbilen

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir