GİRİŞ

Sistemler, birden fazla şekil ve doğrultuda titreşebilirler. Eğer bir sistem, sadece bir tek mod ve tarzda titreşmeye şartlandırılırsa veya sistemin kütlesinin, uzayda geometrik yerini tayin etmek için, bir tek bağımsız değişkene ihtiyaç varsa, bu şekildeki sisteme, bir serbestlik dereceli sistem denir.

Bu yazıda tek serbestlik dereceli yay-kütle sisteminin serbest titreştiği (free vibration) ve sönümsüz (undamped) olması durumu incelenmektedir.

Terminoloji

• Natural frequency : Doğal Frekans
• Mass : Kütle
• Spring : Yay
• Damper/ Dashpot : Sönümleyici
• Spring Constant : Yay Sabiti
• Velocity ( v) : Hız
• Friction ( C ) : Sürtünme
• Drive Force F(t) : Harekete geçiren kuvvet
• Mechanical Vibration : Mekanik Titreşim
• Free Body Diagram : Serbest Cisim Diyagramı
• Degree of Freedom ( DoF ) : Serbestlik Derecesi
• Single Degree of Freedom ( SDoF ) : Tek Serbestlik Derecesi
• Equations of Motion : Hareket Denklemleri
• Translation : Öteleme
• Torsional : Dönme
• Free Vibration : Serbest Titreşim
• Forced Vibration : Zorlanmış Titreşim
• Deterministic Vibration: Deterministik Titreşim
• Noise : Gürültü
• Noise Vibration Harshness NVH : Gürültü Titreşim Sarsıntı
• Moment of inertia : Atalet Momenti
• Kinetic Energy ( KE ) : Kinetik Enerji
• Potential Energy ( PE ) : Potansiyel Enerji
• Pendulum : Sarkaç
• Resonance : Rezonans
• Eigenvalue : Özdeğer, doğal frekans
• Eigenvector : Özvektör, mod şekli
• Undamped : Sönümsüz
• Angular Natural frequency ( rad / s ) = açısal doğal frekans / doğal dairesel frekans
• Simple Harmonic Motion = Basit Harmonik Hareket
• Random Vibration : Rastgele Titreşim

Semboller ve Kısaltmalar ( Symbols and Abbreviations )

• k = yay sabiti
• m = kütle
• u = yer değiştirme
• KE = Kinetik Enerji
• PE = Potansiyel Enerji
• fn = doğal frekans
• Wn = doğal dairesel frekans
• A = genlik

Doğal Frekans

Bir yapının doğal frekansı, belirli bir frekansa maruz kaldığında doğal olarak titreşme eğilimi gösterdiği değerdir. N DoF’lu bir sistemin N doğal frekansı olduğu da bilinmektedir.

Doğal frekansın tanımlanması için bir çok metod vardır:

• Newton’un Hareket Kanunu
• Enerji Metodu
• Rayleigh Metodu
• Langrange Denklemleri
• Dunkerley Denklemi
• Holzer Metodu
• Stodola Metodu
• Matris İterasyon Metodu
• Myklestad – Prohl Metodu

Serbestlik Derecesi (Degree of Freedom ‘DoF’ )

Hareketi tanımlayan birbirinden bağımsız değişken sayısıdır.

Rayleigh Metodu

Eğer sistem, konservatif bir sistem ise, sistemin toplam kinetik enerjisi, deplasmanın maksimum olduğu yerde sıfır ve statik denge konumunda da maksimumdur. Sistemin toplam enerjisi için durum, tamamen terstir. Böylece, Sistemin Toplam Enerjisi = KEmax = PEmax . Bu, Rayleigh’in Metodu olarak bilinir. Bu denklemin neticesi, sistemin tabii(doğal) frekansını verir.

Rezonans

Tatbik edilen dış kuvvetin frekansının, sistemin tabii frekansına eşit olduğu zaman, rezonans meydana gelir. Rezonans olduğu zaman, sistemin genliği(amplitüdü) sınırsız olarak artacak ve bu olay ancak, sistemde sönüm olması halinde kontrol edilebilecektir. Böyle bir durumda, titreşim sisteminin genliğinin çok artması ve meydana gelecek istenmeyen olaylardan sakınmak için, sistemin tabii(doğal) frekansı bilinmeli ve ona göre kontrol edilmelidir.

Serbest Titreşim

Serbest titreşim, sistemin statik denge konumundan uzaklaştırılıp bırakılması halinde yaptığı periyodik harekettir. Tatbik edilen kuvvetler, yay kuvveti, sürtünme kuvveti ve kütlenin ağırlığıdır. Sürtünme olması halinde titreşim zamanla azalır. Bazen de, kısa süreli(geçici) hareket olarak adlandırılır.

Yay Kütle sisteminin Doğal Frekansının Hesaplanması – Rayleigh Metodu

Yay kütle sisteminin ( Sönümsüz, tek DoF’lu) hareketini tanımlamak için 3 adım uygulayacağız. Kütle merkezinin hareketiyle ilgilendiğimizden, bu cismi bir parçacık olarak kabul edeceğiz.

Parçacık statik dengedeyken üzerine etkiyen kuvvetler; ağırlığı “mg” ile yayın uyguladığı kuvvetten “ku” ibarettir.

1 ) Hareketin Tanımlanması

k = yay sabiti

m = kütle

u = yer değiştirme

2) Fiziğin Uygulanması( Serbest Cisim Diyagramının çizilmesi & Hız ve Yer değiştirme kabulü)

Statik denge durumundan; ku = mg

!!! İlerleyen adımda Newton kanuna göre olan bu dengeyi ihmal ederek Sistemin Toplam Enerjisine(Rayleigh Metoda) göre denklem yeniden oluşturularak doğal frekans böyle bulunacaktır.

3) Matematiğin Uygulanması ( Bu yazıda Rayleigh metodu gösterilmektedir. )

Tek serbestlik dereceli yay-kütle sisteminin serbest titreştiği(free vibration) durumda Rayleigh metodu aşağıdaki gibi özetlenebilir:

(KE)max = (PE)max = Sistemin Toplam Enerjisi

KE : Kinetik Enerji , PE : Potansiyel Enerji, k = yay sabiti

x = A.sin(Wn.t)

(x = Basit harmonik hareketten gelen konum denklemi, A = genlik , Wn = doğal dairesel frekans, t = an / zaman). Yukarıdaki konum denklemi kullanılarak bir üst şekildeki duruma göre KEmax bulunacak ve PEmax ile eşitlenecek. Ardından Wn ( radyan cinsinden doğal frekans ‘angular frequency’) bulunacak. Sonra

formülünde yerine konarak fn (Hertz) doğal frekans fomülü bulunacak.

 

YARARLANILAN KAYNAKLAR

1. Theory And Problems Of Mechanical Vibrations, William W. Seto
2. Vector Mechanics For Engineers: Dynamics, Ferdinand Beer& E.Johnson, Philip Cornwell
3. Kocaeli Üniversitesi Otomotiv Mühendisliği Mekanik Sistemlerin Dinamiği Ders Notları, Ali Çınar
4. İTÜ Vakfı Analitik Mekaniğe Giriş, Metin Gürgöze
5. İTÜ Mekanik Sistemler Dinamiği, Fuat Pasin
6. Rayleigh Method To Find Natural Friquency For Undamped Free Vibration, www.youtube.com/watch?v=MTeRWsTGnfo

 

NOT: Bu yazıyı sevgili dostum Burak Erbilen hazırlayıp göndermiştir. Kendisine teşekkür ederim. Burak’la konuyla ilgili iletişime geçmek isterseniz bilgileri aşağıdadır:

Burak Erbilen

Otomotiv Mühendisi

erbilenburak@gmail.com

Linkedin adresi: Burak Erbilen