Mekanik sistemlerin modellenmesinde kilometre taşlarından biri olan kütle-yay-damber sistemi önemli olması nedeniyle bu yazıyı ele almak istedim. Otomotiv alanında bu modelin önemi özelliklede Taşıt Dinamiği, Mekatronik, Titreşim ve Akustik gibi önemli derslerde çokça üzerinde durulmuş anlaşılması önem arz eden bir konu olması nedeniyle burada bu problem saf olan elamanlar ile modellenmiş ve Matlab/Simulink paket programı yardımı ile de bilgisayar ortamında modellenmiş ve değişik tip giriş sinyalleri uygulanarak ne gibi davranış sergileyeceğini göstereceğim.
Bu problemin kolay ve anlaşılır olması adına saf elemanlar ile modellenecektir. Yayın yaylanma katsayısı veya rijitlik katsayısı k olup birimi N/m, damper elemanının sönümleme katsayısı ise c olup birimi Ns/m’dir. Sisteme değişik tip girdiler uygulanmış olup bu girdiler kuvvet cinsinden olup frekans ve genlikleri değişiktir. Tipik sinyaller ramp, step, sinüs gibi sinyallerdir.
Problemin modellenmesi;
- Sistem ağacı çizilmelidir. Sistemin ağacı ise şu şekilde çizilir. Kütle ve dönel atalete sahip cisimlerin yönü referansa doğru olup yarısı tam kalan yarısı da kesik çizgiyle modellenir. Yay ve Sönümde uygulanan kuvvetin yönüne göre sistemde hızı büyük olan kısımdan küçük olan noktaya doğru olacaktır.
- Sistemde mevcut olan kol, düğüm ve gerilim kaynak sayısı belirlenir. Kaynaklarda kendi içinde ikiye ayrılır bunlarda gerilim ve akım kaynakları olacak şekilde adlandırılır. Ardından eleman denklemleri, süreklilik, uyarlılık denklemleri ve sayısı belirlenir.
- Son olarak sistemde bağımsız enerji depolayan elemanların akım ve gerilim değişkenlerini içeren denklem oluşturulur.
Çözüm:
Sisteme kuvvet (sinyal) uygulandığında 1’den 2 numaralı yani referansa doğru olacağı aşikardır. Bu durumda 1 numaralı bölgenin hızının (potansiyelinin) 2 numaralı bölgeden fazla demektir. Bu da demektir ki yay ve damper elemanlarının yönü referansa (ground) 2 numaralı bölgeye doğru olacaktır. Kütlenin ise şekilde görüldüğü üzere belli bir kısmı kesikli çizi ile çizilmiştir. Burada kilit nokta kuvvetin yönünü belirlemektir. Mekanik sistemlerde kuvvet, elektrik sistemlerinde akım kaynağı anlamına gelmektir. Kuvvet ve sistemin ilk hızı aynı olduğu şekilden anlaşılmaktadır. Akım kaynağı ile kuvvetin aynı yönlü olması durumunda akım kaynağının yönü referanstan uzaklaşacak şekilde ayarlanır.
Sistemin ağacı oluşturulduktan sonra sistemdeki kol sayısı (B) 4 olarak belirlenir. Düğüm (N) sayısı ise 1 ve g olmak üzere 2 adettir. Sistemde gerilim kaynağı (SA) yoktur. Akım kaynağı (ST) mevcut olup buda kuvvettir.
Eleman denklemleri ve sayısı; B-S=4-1=3 S=SA+ST
Süreklilik denklemleri ve sayısı: N-1-SA=2-1-0=1 Süreklilik denklemi demek KİRCHHOFF AKIM KANUNU demektir. Buda 1 numaralı düğüme göre yazılır; Mekanik Sistemlerde kuvvet, akım değişkeni hız ise gerilim değişkenidir.
Uyarlılık denklemleri ve sayısı: B-(N-1)-ST=4-(2-1)-1=2 adet uyarlılık denklemi yazılabilir bunlarda şu şekilde yazılabilmektedir. Damper ve yay ikilisi arasında şu şekilde yazılabilir;
Sistemde bağımsız olarak enerji depolayan elemanları belirlememiz gerekir bunlarda yay(k) ve damper(b) elemanlarıdır. Ayrıca sisteme uygulanan girdi F(t) kuvveti durum denklemlerini içerebilir.
Süreklilik denklemindeki ifadeyi açarsak;
Bu gibi bir ifadeyi elde ettikten sonra en yüksek mertebeli diferensiyel ifadeyi yalnız bırakırız ve bu işlem sonucu ise aşağıdaki gibidir.
Uyarlılık denklemindeki ifadeyi açarsak;
Bu gibi bir ifadeyi elde ettikten sonra en yüksek mertebeli diferensiyel ifadeyi yalnız bırakırız ve bu işlem sonucu ise aşağıdaki gibidir.
Tüm sistemlerde bilinmeyen ortak nokta akım ve gerilim denklemlerinin nasıl değiştiğidir. Bu sistemde her iki değişkende elde edilmiştir. Bu durum denklemlerini şimdi MATLAB/Simulink paket programı vasıtasıyla çözümünü elde edelim ve dinamik davranışını inceleyelim.
Durum Denklemleri;
Simülasyonu çalıştırırsak elde edilecek grafik aşağıdaki gibidir;
Uygulanan kuvvet girdilerine göre elde edilecek grafikler aşağıda verilmiştir. Uygulanan kuvvet sabit olursa sistem ilk etapta titreşim genliği oldukça yüksek olur ve giderek sistem uygulanan bu kuvvetin etkisini sönümler.
Sisteme ramp girdisi uygulanmıştır. Bilindiği üzere ramp girdisinin şiddeti zamanla artış göstermektedir. Uygulanan kuvvet sinyalinin başlangıç genliği düşüktür ve gittikçe artmıştır. Sisteminde titreşimi de zamanla artmıştır.
Sisteme step girdisi uygulanmıştır. Step girdisi bilindiği üzere ilk bir saniye sıfır yani kuvvet oluşturmaz sonraki saniyelerde ise ani olarak sabit bir değere ulaşır. Sistemde de aynı etki oluşmuştur. Birinci saniyede kuvvet olmadığından titreşimde yoktur. Ancak sonraki saniyelerde ise sabit olan kuvvet sistem tarafından sönümlenmiştir.
Sisteme pulse sinyali uygulanmıştır. Bu sinyalde bilindiği üzere ani ve sabit değerlerde belli bir süre boyunca sisteme uygulanır. Sistemde her kuvvet oluştuğundan sistem tekrardan sönümlemeye çalışmakta.
Sisteme Repeating sequence sinyali uygulanmıştır. Bu sinyalde ilk 2 saniye kuvvet oluşturmamış ardından ise sisteme oluşturduğu tüm kuvvet darbelerini sönümlemeye çalışmaktadır.
Sisteme sinüs sinyali uygulanmış ve her durum da kuvvet vardır. Bu kuvveti de sistem sönümlemeye çalışmaktadır.
Burada kullanılan tüm sinyal girdileri default(varsayılan) olarak uygulanmıştır. Sizlerde kendinizin oluşturmuş olduğu bu sistemde aynı sinyalin genlik ve frekans değerleri ile oynayarak sistemin cevabını öğrenebilirsiniz.